Question

如图,已知开口向上的抛物线y=a(x^2)+bx+c(a≠0)与x轴交于A(x[1],0)和B(x[2],0)

如图，已知开口向上的抛物线y=a(x^2)+bx+c(a≠0)与x轴交于A(x[1],0)和B(x[2],0)
两点，x[1],x[2]是方程(x^2)+2x-3=0的两根(x[1]<x[2])，而且抛物线与y轴交于C点，∠ACB不小于(90^0)。
（1）求A、B两点的坐标和抛物线的对称轴；
（2）求点C的坐标（用含a的代数式表示）
（3）求系数a的取值范围

Answer 1

第一个问题：
∵x^2＋2x－3＝0可变成（x＋3）（x－1）＝0，　∴x1＝－3，x2＝1。
∴点A、B的坐标依次是（－3，0），（1，0）。
显然，抛物线的对称轴是AB的中垂线，由中点坐标公式容易求出：AB中点的横坐标为－1，
∴抛物线的对称轴方程是x＝－1。
即：A的坐标是（－3，0），B的坐标是（1，0）；　抛物线的对称轴是AB的中垂线x＝－1。

第二个问题：
∵x1、x2是抛物线y＝ax^2＋bx＋c与x轴的交点横坐标，∴x1、x2满足方程ax^2＋bx＋c＝0。
∴方程ax^2＋bx＋c＝0与x^2＋2x－3＝0同解，
∴ax^2＋bx＋c＝a（x^2＋2x－3），令其中的x＝0，得：c＝－3a。
∴点C的坐标是（0，－3a）。

第三个问题：
由两点间的距离公式，得：
｜AC｜＝√［（－3－0）^2＋（0＋3a）^2］＝√（9＋9a^2）。
｜BC｜＝√［（1－0）^2＋（0＋3a）^2］＝√（1＋9a^2）。
｜AB｜＝1－（－3）＝4。
由余弦定理，有：cos∠ACB＝（｜AC｜^2＋｜BC｜^2－｜AB｜^2）/（2｜AC｜｜BC｜）。
∵∠ACB≧90°，　∴cos∠ACB≦0，　∴｜AC｜^2＋｜BC｜^2－｜AB｜^2≦0，
∴（9＋9a^2）＋（1＋9a^2）－16≦0，∴18a^2－6≦0，∴a^2≦1/3，∴－√3/3≦a≦√3/3。
但此抛物线是开口向上的，∴需要a＞0。
∴系数a的取值范围是（0，√3/3］。

Answer 2

1. x²+2x-3=0，(x+3)(x-1)=0
x1 = -3, x2 = 1
A(-3, 0), B(1, 0)
对称轴: x = (-3+1)/2 = -1, x = -1

2. 抛物线可以表达为y = a(x+3)(x-1)
x = 0, y = -3a
C(0, -3a)

3. AC的斜率为k1 = (-3a -0)/(0+3) = -a
BC的斜率为k2 = (-3a -0)/(0-1) = 3a
二者垂直时，k1*k2 = -3a² = -1
a = 1/√3或a = -1/√3（后者小于0，舍去）
a越大时，抛物线开口越小，∠ACB越小；要使∠ACB≥90°，须0≤ a ≤ 1/√3