Question

点Q为曲线X2-4Y2=16上的任意一点,定点A(0,4),若动点P满足AP=1/3AQ,求点P轨迹方程

Answer 1

点Q为双曲线X²-4Y²=16上的任意一点,定点A(0,4),若动点P满足AP=(1/3)AQ,求点P轨迹方程
解：∵AP/AQ=1/3，∴点P内分AQ，分比λ=AP/PQ=1/2。
设动点P的坐标为(x，y)；双曲线上的点Q的坐标为(m，n)；于是按定比分点的坐标公式得：
x=(1/2)m/(1+1/2)=m/3，故m=3x..........(1)
y=[4+(1/2)n]/(1+1/2)=(8+n)/3，故n=3y-8..........(2)
Q(m，n)在双曲线上，其坐标满足双曲线方程，故有：
(3x)²-4(3y-8)²=16；9x²-36(y-8/3)²=16；
故得轨迹方程为x²/(16/9)-(y-8/3)²/(16/36)=1
这是一条对称中心在(0，8/3），a=4/3，b=4/6的双曲线。