Question

在△ABC中,AB=2√2,BC=6,∠ABC=45°,AD‖BC,点P在射线AD上一个动点(与点A不重合),BP与AC相交于点E，设AP=x

(1)求AC的长
(2)如果△ABP与△AEP相似，求x的值
(3)当△ABE是以AB边为腰的等腰三角形是，求x的值

Answer 1

1）过A做AF⊥BC于F点
∵,∠ABC=45°，AB=2√2，BC=6
∴BF=AF=2,FC=4
∴AC=2√5
2）假如△ABP与△AEP相似
则∠APE=∠BAE,∠EAP=∠ABE,∠AEP=∠AEB
∴BP⊥AC
又∵BC*AF=AC*BE
∴BE=6√5/5，AE=2√5/5
AP/AB=AE/BE
X=AP=2√2/3
3）若△ABE是以AB边为腰的等腰三角形
则AE'=2AE=4√5/5，CE'=6√5/5
又∵AD‖BC，∴△AEP∽△CEB
AP/BC=AE/EC
x=AP=4

Answer 2

添线作图：过B作AD垂线，交DA延长线于M。
则BM=AM=2，MP=x+2。
BP=√[2^2+（x+2）^2]=√(x^2+4x+8)
已知△ABP∽△AEP，
则AB/AE=BP/AP，即2√2/AE=√(x^2+4x+8)/x.........⑴
又AD‖BC
则△APE∽△CBE，即BC/AP=CE/AE
也就是（AP+BC）/AP=(CE+AE)/AE,即（x+6）/x=2√5/AE...........⑵
由⑴⑵解得x=4