Question

函数在指出的点处间断，说明这些间断点属于哪一类

y=x/tanx，x=kπ，x=kπ+π/2（k=0，±1，±2……）

答案说x=0和x=kπ+π/2时为可去间断点，
x=kπ（k≠0）为第二类间断点
为什么？怎么判断的？

Answer 1

首先x=0,kp,kp+p/2(p为派)时f(x)无定义，即为不连续点
x=0,f(0+)=f(0-)=limx/tanx=1(tanx~x，x趋于零)不等于f(0)
同理，f[(kp+p/2)+]=f[(kp+p/2)-]=0(因为tanx趋于无穷大，x/tanx趋于零)不等于f(kp+p/2)

但是，x=kp时，分子趋于一个常数，分母趋于零，极限为无穷大，即左右极限不存在，为第二类点
这里提一个我以前的思想误区，函数趋于无穷大时极限不存在，

追问

括号里说“因为tanx趋于无穷大”，怎么知道tanx趋向于无穷大呢？

追答

tan(kp+p/2)=tan(p/2),趋于无穷，零除以无穷等于零

追问

不好意思，我比较笨，反应迟钝，再追问一下：
f[(kp+p/2)+]=f[(kp+p/2)-] 和x=kp时，分子不是都是趋于一个常数吗？
还有，“x=kp时，分子趋于一个常数，分母趋于零”，tankp怎么看得出来趋向于0呢？

追答

x=kp,x=kp+p/2时，分子都是趋于常数，但分母一个趋于零，导致函数趋于无穷大，所以没有极限（无穷大不是极限，极限的定义，趋于一个定值，无穷大是变量）故为第二类，另一个分母趋于无穷大，所以函数趋于零，零是极限，故为第三类