Question

化简： 1/x(x+1)+1/(x+1)(x+2)+1/(x+2)(x+3)+.....+1/(x+2007)(x+2008)

并求当x=2是代数式的值

Answer 1

原式=1/x-1/（x+1）+1/（x+1）-1/（x+2）+1/（x+2）-……-1/（x+2007）+1/（x+2007）-1/（x+2008）=1/x-1/（x+2008）=2008/[x(x+2008)]
当x=2时，原式=2008/（2*2010）=502/1005

1/（1*2）+1/（2*3）+1/（3*4）+......+1/（10*11）=1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+......+1/10-1/11=10/11
这是一个比较重要的式子了！
1/（1*2）+1/（2*3）+1/（3*4）+........+1/｛n*（n-1）｝=（n-1）/n
类似的还有1/（1*3）+1/（3*5）+1/（5*7）+......+1/[n（n-2）]=1/2{1-1/3+1/3-1/5+.....+1/(n-2)-1/n=（n-1）/（2n）
看出规律了吗？分母的两个数之差是多少就提出来个差的倒数
如1/（1*5）+1/（5*9)=1/4(1-1/5+1/5-1/9)=2/9

Answer 2

解：原式＝1/x－1/﹙x＋1﹚＋1/﹙x＋1﹚－1/﹙x＋2﹚＋1/﹙x＋2﹚－1/﹙x＋3﹚＋…………＋1/﹙x＋2007﹚－1/﹙x＋2008﹚
＝1/x－1/﹙x＋2008﹚
＝2007/x﹙x＋2008﹚
当x＝2时。
原式＝2007/2×2010
＝2007/4020.

Answer 3

1/x(x+1)+1/(x+1)(x+2)+1/(x+2)(x+3)+.....+1/(x+2007)(x+2008)
=1/x-1/(x+1)+1/(x+1)-1/(x+2)+1/(x+2)-1(x+3)+.....+1/(x+2007)-1/(x+2008)
=1/x-1/(x+2008)
=(x+2008)/[x(x+2008)]-x/[x(x+2008)]
=(x+2008-x)/[x(x+2008)]
=2008/x(x+2008)
=2008/2*2010
=502/1005

Answer 4

我也不清楚，自己想想，会想出来的！