Question

设动点p是抛物线y=2x^2+1上任意一点，点A（0，-1），点M使得向量PM=2向量MA，则M的轨迹方程是

Answer 1

设P(a, 2a²+1), M(x, y ), 则向量PM=(x-a, y-2a²-1), 向量MA=(-x, -1-y)
∵向量PM=2向量MA
∴x-a =2(-x) ①
y-2a²-1=2( -1-y) ②
由①得a=3x,代人 ②中化简得，y=6x² - 1/3

Answer 2

设p(m,n) M(x,y)
则PM=(x-m, y-n) MA=(-x, 1-y)
已知向量PM=2向量MA
则x-m=-2x m=3x
y-n=1-y n=2y-1
把P点坐标代入抛物线方程
2y-1=2*(3x)²+1
y=9x²+1
即为所求

Answer 3

y=6x²-1/3

∵M(x,y)是P,A的定比分点，PM:MA=2
∴x=(xp+2xa)/(1+2) y=(yp+2ya)/(1+2)
又 yp=2(xp)²+1
=> x=xp/3 (=> xp=3x) y={[2(xp)²+1]+2ya}/3
∴ y={[2*9x²+1]+2*(-1)}/3=(18x²-1)/3=6x²-1/3

Answer 4

同学你好：
希望为你解答；我们假设动点P点的坐标（m，2m²+1）设M坐标为（x，y），向量PM=2向量MA，得到（x-m，y-2m²-1）=2（-x，-1-y），推出（x-m，y-2m²-1）=（-2x，-2-2y），由定义可知关系成立：x-m=-2x①，y-2m²-1=-2-2y②，所以①得m²=9x²，②得m²=（3y+1）/2，所以9x²=（3y+1）/2，变形为：y=6x²-(1/3)

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