Question

已知椭圆的中心为O ，找轴、短轴的长分别为2a .2b(a.>b>0)，A、B分别为椭圆上的两点，且OA垂直于OB。

（1）求证：1/（OA*OA）加上1/（OB*OB）为定值 （2）求三角形AOB面积的最大值和最小值

Answer 1

分析：（1）可利用直线OA，OB方程与椭圆方程联立求A，B点坐标满足的一元方程，进而求出A，B的横纵坐标的平方，代入
1
|OA|2

1
|OB|2
，化简即可．
（2）由S△AOB=
1
2
|OA||OB|，
1
|OA|2

1
|OB|2
=
a2 b2
a2b2
，可根据均值不等式求最小值，再根据S△2AOB=
1
4
|OA|2|OB|2，把|OB|2转化为|OA|2，再根据椭圆中，|OA|范围即可求出面积最大值．
解答：解：（1）设椭圆方程为
x2
a2

y2
b2
=  1，设当直线OA斜率存在且不为0时，设方程为y=kx，
∵A，B分别为椭圆上的两点，且OA⊥OB．∴直线OB方程为y=-
1
k
x
设A（x1，y1），b（x2，y2），把y=kx代入
x2
a2

y2
b2
=  1得x12=
a2b2
b2 a2k2 
，∴y12=
k2a2b2
b2 a2k2

把y=-
1
k
x代入
x2
a2

y2
b2
=  1，得  x22=
a2b2k2
a2 b2k2
，∴y22=
a2b2
a2 b2k2
                        
  
1
|OA|2

1
|OB|2
=
1
x12 y12

1
x22 y22
=
1
a2b2
b2 a2k2
  
k2a2b2
b2 a2k2

1
 
a2b2k2
a2 b2k2
  
a2b2
a2 b2k2
=
a2 b2
a2b2

当直线OA，OB其中一条斜率不存在时，则另一条斜率为0此时
1
|OA|2

1
|OB|2
=
1
a2

1
b2
=
a2 b2
a2b2

综上，
1
|OA|2

1
|OB|2
为定值

   （2）S△AOB=
1
2
|OA||OB|，∴S△2AOB=
1
4
|OA|2|OB|2
由（1）知
1
|OA|2

1
|OB|2
=
a2 b2
a2b2
≥2
1
|OA|2
1
|OB|2
=
2
|OA||OB|

∴S△AOB=
1
2
|OA||OB|≥
a2b2
a2 b2
，∴S△AOBmin=
a2b2
a2 b2
．
∵S△2AOB=
1
4
|OA|2|OB|2=
1
4
|OA|2(
1
a2 b2
a2b2
-  
1
|OA|2
)
=
1
4
(
1
a2 b2
a2b2|OA|2
- 
1
|OA|4
)，随着|OA|的增加，此函数值在增加
∵|OA|≤a，∴S△2AOB≤
1
4
(
1
a2 b2
a2×b2×a2
-
1
a4
)=
1
4
a2b2
∴S△AOBmax=
ab
2

综上S△AOBmin=
a2b2
a2 b2
，S△AOBmax=
ab
2

Answer 2

这个题目用极坐标方程最好做,其他方法难算.