Question

已知椭圆的中心为O，长轴、短轴的长分别为2a，2b（a＞b＞0），A，B分别为椭圆上的两点，且OA⊥OB．（1）

已知椭圆的中心为O，长轴、短轴的长分别为2a，2b（a＞b＞0），A，B分别为椭圆上的两点，且OA⊥OB．（1）求证：1|OA|2+1|OB|2为定值；（2）求△AOB面积的最大值和最小值．

Answer 1

（1）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

＝  1，设当直线OA斜率存在且不为0时，设方程为y=kx，
∵A，B分别为椭圆上的两点，且OA⊥OB．∴直线OB方程为y=-

1

k

x
设A（x₁，y₁），b（x₂，y₂），把y=kx代入

x2

a2

+

y2

b2

＝1得x12＝

a2b2

b2+a2k2

，∴y12＝

k2a2b2

b2+a2k2

把y=-

1

k

x代入

x2

a2

+

y2

b2

＝1，得 x22＝

a2b2k2

a2+b2k2

，∴y22＝

a2b2

a2+b2k2

                        
 

1

|OA|2

+

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