Question

已知A、B、C是长轴长为4的椭圆上的三点，点A是长轴的一个顶点，BC过椭圆中心O，如图，且 ，|BC|=2|AC|，

已知A、B、C是长轴长为4的椭圆上的三点，点A是长轴的一个顶点，BC过椭圆中心O，如图，且 AC垂直于BC，|BC|=2|AC|，
（1）建立适当的直角坐标系，求椭圆的方程；
（2）求经过A,B,C三点的圆与圆x^2+y^2=4的公共弦长。

Answer 1

你好！

(1)以O为原点建立直角坐标系
长轴长2a=4，∴a=2，A(2,0)
由椭圆对称性可知|OB|=|OC|
∵|BC|=2|AC|
∴|AC|=|OC|
又AC⊥BC
∴△OAC为等腰直角三角形
∴C(1,1)
C(1,1)在椭圆 x²/4 + y²/b² =1上，
∴1/4 + 1/b² =1，b²= 4/3
故椭圆方程为 x²/4 + 3y²/4 =1

(2)∵AC⊥BC
∴经过A,B,C三点的圆即以AB为直径的圆
由对称性可知B(-1,-1)
∴圆心M(1/2,-1/2)
半径1/2|AB|=√10 /2
故圆M：(x-1/2)² + (y+1/2)² = 5/2
与x² +y² =4 联立解得
x=0,y= -2 或 x=2,y=0
故公共弦长为 2√2