Question

已知是A,B,C长轴长为4的椭圆上的三点,点A是长轴的一个端点,BC过椭圆中心O，且向量AC乘以BC=0，OC=AC

已知是A,B,C长轴长为4的椭圆上的三点,点A是长轴的一个端点,BC过椭圆中心O，且向量AC乘以BC=0，OC=AC
(1) 求椭圆方程
(2) 如椭圆上有异于A,B,C的两点P,Q，使得直线CP与直线CQ的倾斜角互补，证明：PQ平行于AB

Answer 1

依题意可知
AC垂直BC，又椭圆关于O对称，所以OC=OB=AC=根号2
因此C（-1，-1）在椭圆上
设椭圆为X2/4+Y2/B2=1
则B2=4/3
椭圆方程为：X2/4+Y2/（4/3）=1
设直线lPC：y=kx+1-k（k≠0）
与椭圆方程 x24+3y24=1联立得到（3k2+1）x2+6k（1-k）x+3（1-k）2-4=0
则△=[6k（1-k）]2-4（3k2+1）[3（k-1）2-4]=4（3k+1）2＞0从而 k≠-13且k≠0
设点P（x1，y1），而C（1，1），由韦达定理知 1+x1=6k(k-1)3k2+1⇒x1=3k2-6k-13k2+1
代回lPC：y=kx+1-k得到 y1=-3k2-2k+13k2+1
∵直线CP、CQ与x轴围成底边在x轴上的等腰三角形
∴直线CP、CQ的斜率互为相反数，即 k≠-13，k≠13且k≠0
故设点Q（x2，y2），同理可知 x2=3k2+6k-13k2+1， y2=-3k2+2k+13k2+1
所以 PQ→=(12k3k2+1，4k3k2+1)
∵椭圆是中心对称图形
∴B（-1，-1）， AB→=(-3，-1)