Question

用递推公式求通项公式

Answer 1

解：特征方程为x^2=2cosα*x-1，解得x1=cosα+isinα，x2=cosα-isinα。于是当n≥1时，有
X(n+2)-(cosα+isinα)*X(n+1)=(cosα-isinα)*[X(n+1)-(cosα+isinα)*X(n)]=……
=(cosα-isinα)^n*[X2-(cosα+isinα)*X1]= (cosnα-isinnα)*(cos2α-isin2α) =cos(n+2)α-isin(n+2)α
比较上式两边的虚部，易得
-sinα*X(n+1)=-sin(n+2)α
则X(n+1)=sin(n+2)α/sinα
经验证，当n=0时，上式也满足。于是X(n)的通项公式为
X(n)=sin(n+1)α/sinα，n∈N。