Question

帮忙解一道高数题。

已知e<a<b,求证（a的b次方）大于（b的a次方）。

Answer 1

f(x)=(lnx)/x
f '(x) = (1-lnx)/x
当x＞e时，lnx＞1，1-lnx＜0，则f '(x)＜0，函数递减
当x＜e时，lnx＜1，1-lnx＞0，则f '(x)＞0，函数递增
故而有
当e<a<b时，函数递减，因此有
f(b) ＜ f(a)
lnb/b ＜ lna/a
alnb＜ blna
lnb^a＜ lna^b
即 b^a＜a^b

Answer 2

令f(x)=xlna-alnx
则明显f(a)=0
f'(x)=lna-a/x
∵a>e,f'(x)>1-a/x
在[a,+∞）上，有f'(x)>0
故f(x)在[a,+无穷大）上是增函数。
b∈[a,+∞),故f（b）>f(a)=0
f(b)=blna-alnb>0
blna>alnb
e^x在R上是增函数
所以e^(blna)>e^(alnb)
即a^b>b^a