设函数f(x)在R内有定义,x0是函数f(x)的极大值点,则
A.x0必是-f(-x)的极小值点B.x0必是-f(x)的极小值点A,B中选一个,解释一下,谢谢...
A.x0必是-f(-x)的极小值点
B.x0必是-f(x)的极小值点
A,B中选一个,解释一下,谢谢 展开
B.x0必是-f(x)的极小值点
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B
-f(x)与f(x)是关于x轴对称的,那么同一个x0处,f(x)有极大值,则-f(x)一定有极小值。
而A选项中,f(-x)与f(x)关系不明,有可能是关于原点对称(即f(x)是奇函数),也有可能关于y轴对称(即f(x)是偶函数),还有可能什么都不是(f(x)即不是奇函数也不是偶函数)。因此f(-x)函数图像上在x0处极值是否存在,都难说,与f(x)在x0上存在极大值更是没有多大关系。-f(-x)只不过是f(-x)的反转,既然f(-x)是什么情况都搞不清楚,-f(-x)自然也是一样搞不清楚的。
你可以举个例子观察一下就明白了。
如二次函数 f(x)=-(x-2)²+3,在x=2处存在极大值3。
但f(-x)=-(-x-2)²+3=-(x+2)²+3,在x=-2处存在极大值3;在x=2处,则不存在极值,此点处函数值是-13,既非f(-x)函数的最大值,也非最小值,只是一个普通值而已。
也就是说,你可以把f(-x)理解成是一个与f(x)无关的新的函数,它的函数表达式与f(x)的函数表达式是不一样的。这样,你就理解了为什么在x0处对f(x)有极值,而对f(-x)却没有极值的道理了。
————————————————————
以下是对于“西域牛仔王”的回复说明:
首先,感谢你指出我分析中的错误之处。确实如你所说,f(x)、f(-x)这两个函数的图像的确关于y轴对称。
我在这一段中的分析确实存在问题:
“而A选项中,f(-x)与f(x)关系不明,……”
我把f(x)函数图像自身关于原点对称或关于y轴对称,此处所说的“对称”,与f(x)、f(-x)两种函数图像之间的对称,搞混淆了。其实一个是对一个函数图像而言的,另一个是对两个函数图像而言的。
f(x)、f(-x)两个函数的图像关于y轴对称,此对称现象只能说明f(x)在x0处有极值,f(-x)在-x0处一定也有极值;但无法保证f(-x)在x0处也有极值。
所以虽然俺中间的分析有点问题,但结论没错。
-f(x)与f(x)是关于x轴对称的,那么同一个x0处,f(x)有极大值,则-f(x)一定有极小值。
而A选项中,f(-x)与f(x)关系不明,有可能是关于原点对称(即f(x)是奇函数),也有可能关于y轴对称(即f(x)是偶函数),还有可能什么都不是(f(x)即不是奇函数也不是偶函数)。因此f(-x)函数图像上在x0处极值是否存在,都难说,与f(x)在x0上存在极大值更是没有多大关系。-f(-x)只不过是f(-x)的反转,既然f(-x)是什么情况都搞不清楚,-f(-x)自然也是一样搞不清楚的。
你可以举个例子观察一下就明白了。
如二次函数 f(x)=-(x-2)²+3,在x=2处存在极大值3。
但f(-x)=-(-x-2)²+3=-(x+2)²+3,在x=-2处存在极大值3;在x=2处,则不存在极值,此点处函数值是-13,既非f(-x)函数的最大值,也非最小值,只是一个普通值而已。
也就是说,你可以把f(-x)理解成是一个与f(x)无关的新的函数,它的函数表达式与f(x)的函数表达式是不一样的。这样,你就理解了为什么在x0处对f(x)有极值,而对f(-x)却没有极值的道理了。
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首先,感谢你指出我分析中的错误之处。确实如你所说,f(x)、f(-x)这两个函数的图像的确关于y轴对称。
我在这一段中的分析确实存在问题:
“而A选项中,f(-x)与f(x)关系不明,……”
我把f(x)函数图像自身关于原点对称或关于y轴对称,此处所说的“对称”,与f(x)、f(-x)两种函数图像之间的对称,搞混淆了。其实一个是对一个函数图像而言的,另一个是对两个函数图像而言的。
f(x)、f(-x)两个函数的图像关于y轴对称,此对称现象只能说明f(x)在x0处有极值,f(-x)在-x0处一定也有极值;但无法保证f(-x)在x0处也有极值。
所以虽然俺中间的分析有点问题,但结论没错。
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