Question

零点定理

Answer 1

希尔伯特零点定理（Hilbert's Nullstellensatz）是古典代数几何的基石, 它给出了域 k 上的 n 维仿射空间中的代数集与域 k 上的 n 元多项式环的根理想的一一对应关系,。

此外, 它的一个较弱版本给出了仿射空间中的点与多项式环的极大理想之间的一一对应关系, 由此建立了代数和几何之间的联系, 使得人们可以用交换代数的手段研究几何问题。

扩展资料

函数零点定理的应用技巧

判断函数零点个数的方法

a、直接法：令f(x)=0,如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点。

b、利用函数的零点存在性定理：利用函数的零点存在性定理时，不仅要求函数的图象在区间[a,b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点。

c、图象法：画出函数f(x)的图象，函数f(x)的图象与x轴交点的个数就是函数f(x)的零点个数；将函数f(x)拆成两个函数h(x)和g(x)的差，根据f(x)=0h(x)=g(x),则函数f(x)的零点个数就是函数y=h(x)和y=g(x)的图象的交点个数。

参考资料来源：百度百科—希尔伯特零点定理

Answer 2

设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与 f(b)异号（即f(a)× f(b)<0），那么在开区间（a,b）内至少有函数f(x)的一个零点，即至少有一点ξ（a<ξ<b）使f(ξ)=0。
　　证明：不妨设f(a)<0,f(b)>0.令
　　E={x|f(x)<0,x∈[a,b]}.
　　由f(a)<0知E≠Φ,且b为E的一个上界，于是根据确界存在原理，
　　存在ξ=supE∈[a,b].
　　下证f(ξ)=0（注意到f(a)≠0,f(b)≠0,故此时必有ξ∈(a,b).）.事实上，
　　(i)若f(ξ)>0,则ξ∈[a,b).由函数连续的局部保号性知
　　存在x1∈(ξ,b):f(x1)<0→存在x1∈E:x1>supE,
　　这与supE为E的上界矛盾；
　　(ii)若f(ξ)<0,则ξ∈(a,b].仍由函数连续的局部保号性知
　　存在δ>0,对任意x∈(ξ-δ,ξ):f(x)>0→存在δ>0,对任意x∈E:x<ξ-δ,
　　这又与supE为E的最小上界矛盾。
　　综合(i)(ii)，即推得f(ξ)=0。
　　我们还可以利用闭区间套定理来证明零点定理。