Question

已知函数f(x)=-1/3x^3+x^2+ax+b(a.b属于r),若a=3,求函数f(x)的单调区间

Answer 1

若a=3，则f(x)=-1/3x^3+x^2+3x+b
f'(x)= -x^2+2x+3
令f'(x)=0 ，解得x1=-1,x2=3
在区间x∈（-∞，-1），f'(x)<0。函数单调递减。
在区间x∈[-1,3)，f'(x)>0。函数单调递增。
在区间x∈[3,+∞)，f'(x)<0。函数单调递减。

追问

若函数f(x)图像上切线斜率最大值为3，f(x)的极小值为2，求a b 的值

追答

对原函数求导f‘（x）=-x^2+2x+a,
由题设知f(x)图像上切线的斜率最大值为3，也即f‘（x）=-x^2+2x+a存在最大值3，
易知f’（x）在实数R上当x=1时取得最大值此时f‘（1）=a+1=3
解得a=2，
再令f'（x）>0，即-x^2+2x+2>0
解得1-√3<x<1+√3
易知函数在此区间单调递增，
函数在（-∞，1-√3）和（1+√3，+∞）单调递减；
易知函数在x=1-√3取得极小值f（1-√3）=2
解得b=2√3-2/3
综上所述a=2；b=2√3-2/3

Answer 2

f'(x)=-x^2+2x+3
f'(x)>0 -x^2+2x+3>0 x^2-2x-3<0 -1<x<3 增区间 （-1,3）
f'(x)<0 -x^2+2x+3<0 x^2-2x-3>0 x<-1或x>3 减区间 （-∞，-1）（3，+∞）