Question

为什么几何平均数小于算术平均数？可不可以结合图像说明？

Answer 1

设a，b为两个正实数，以a+b为直径作一个半圆O，如图，AD=a，BD=b，

过D点作CD⊥AB交半圆与点C，则⊿ABC为Rt⊿，所以  CD²=AD•BD=ab

于是，线段CD=√(ab) 就是a，b的几何平均数。

而半径OC=(a+b)/2，是a，b的算术平均数。

显然　　　　CD<OC

当且仅当a=b时，O与D重合，此时，CD=OC

从而，两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

Answer 2

如图的长方形4个，长边为a，短边为b

几何平均数为根号ab，算术平均数，(a+b)/2   （均为大于0的数，平方、同乘不影响其比较大小）

两个数同时平方，后在同时乘以4，得  4ab，，，（a+b）^2

4ab就是四个长方形的面积，，，，（a+b）^2就是大正方形的面积

所以几何平均数小于算术平均数。。。

这是a≠b时才成立的

当a=b时，两个平均数是相等的，你的说法不太正确哦

Answer 3

直接用 完全归纳法证明啊。
首先，对于2个数成立。（1）
然后，设对 n-1个数成立，（2）
利用 （1）把（2）变换为
对 n个数成立，从而得证。

Answer 4

三楼的验证是比较好的，建议采纳

Answer 5

等于要证明 (a+b)/2 >=√(ab)
两边都平方 (a+b)^2 >=4ab
等于 (a-b)^2 >=0
恒成立