Question

如图 AB为圆O的直径 CD是圆O的切线 C是切点 AD垂直于CD AD的延长线与BC延长线相交于点E 求证AE=AB

Answer 1

解：（1）AC是∠BAD的平分线时，AD⊥CD，
证明：连接BC，
则∠ACB=90°，即∠B+∠BAC=90°，
∵CD是圆O的切线，
∴∠ACD=∠B，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠CAD，
∴∠CAD+∠ACD=90°，
即∠D=90°，AD⊥CD；
（2）由（1）可知：∠BAC=∠CAD，
∵∠ACB=∠D=90°，
∴△ABC∽△ACD，
∴AD：AC=AC：AB，
∴AC2=AD•AB=20；
解得AC=2 ，
直角三角形ACD中，
根据勾股定理可得CD=2，
根据CD是圆的切线可得：CD2=AD•DE，即DE=CD2÷AD=4÷4=1．所以AB=AE

Answer 2

连接AC和OC，∵CD是圆O的切线 C是切点，所以OC⊥CD；
∵AD⊥CD，∴OC∥AD，
在△ABE中，∵O是AB的中点，OC∥AE，∴BC=CE
(过三角形一边中点平行于另一边的直线平分第三边)。
在⊙O中，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，或AC⊥BE，
那么AC是BE的垂直平分线，∴AE=AB。

Answer 3

证明：
连接OC，AC
∵AD⊥CD，OC⊥CD【切线垂直经切点的半径】
∴AD//OC
∴BC/CE=BO/OA
∵BO=OA
∴BC=CE
∵AC⊥BE【直径所对的圆周角是直角】
∴AC是BE的垂直平分线
∴AE=AB