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ln(1+x^2)在x趋于0的时候等价于x^2, 所以分母x*[ln(1+x^2)]^2等价于x^5. 此时分子分母同时求导,使用洛比达法则。分子(arctanx-arcsinx)求导
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lim(x→0) (arctanx-sinx)/x^3
=lim(x→0) [1/(1+x^2)-cosx]/(3x^2)
=lim(x→0) [1-(1+x^2)*cosx]/[(3x^2)*(1+x^2)]
=lim(x→0) [1-(1+x^2)*cosx]/(3x^2)
=lim(x→0) [-2xcosx+(1+x^2)*sinx]/(6x)
=lim(x→0) [-2cosx+2xsinx+2xsinx+(1+x^2)*cosx]/6
=(-2+2)/6
=0
=lim(x→0) [1/(1+x^2)-cosx]/(3x^2)
=lim(x→0) [1-(1+x^2)*cosx]/[(3x^2)*(1+x^2)]
=lim(x→0) [1-(1+x^2)*cosx]/(3x^2)
=lim(x→0) [-2xcosx+(1+x^2)*sinx]/(6x)
=lim(x→0) [-2cosx+2xsinx+2xsinx+(1+x^2)*cosx]/6
=(-2+2)/6
=0
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