Question

高等数学变上限积分问题

此题目为：设函数f(x)可导，且f(0)=0，F（x)=（请大家自己写一下，打不出来）从0到X的定积分，积分式为t的n-1次幂乘以f（X的n次幂-t的n次幂）dt。
要求证明：lim(x→0）F（X）/x的2n次幂=（1/2n）*f‘（0）

证明中设u=x的n次幂-t的n次幂，然后将F（X）化为（1/n）*0到X的n次幂的定积分，积分式为f(u)du.

我的问题是，现在弄不懂在变量代换后怎么F（X）的积分上限变为了X的n次幂了，原来不是X吗？
请各位高手解答

Answer 1

其实这是你没弄清这个变量与积分值无关
举个简单例子来说
f(x)=x^n(n是自然数)与f(t)=t^n,这两个函数其实相等的，这去变量无关
我们再回到你的题上来看
积分与一般函数的不同在于用不同的变量表示，积分限也要跟着变
那么u=x的n次幂-t的n次幂，我们知道现在的变量变为u，他没写中间过程就直接把u又变成x了，下面我来看积分限的变换过程
u=x的n次幂-t的n次幂，因为原式是对t求积分，所以变量是t
那么就是说原式是积分限0-x（此处x可看成常量），接着我们看当t=0时
u=x的n次幂
当t=x，u=0
所以积分限就变为x的n次幂--0
如还有不明白就发信息给我

Answer 2

注意积分是对t的 不是对x积分
这里 t 是0->x
那么 t^n 就是 0->x^n
t^(n-1)dt=(1/n)*dt^n 就是把t^n 看作积分对象

Answer 3

设G(x)为f(x)原函数。F(x)=-1\n*积分从0到X，积分式为f（x^n-t^n)d（x^n-t^n)=（G（x^n)-G(0))\n,.根据洛必达法则，可得要求的极限=lim F'(X)\2nx^（2n-1）=lim G'(x^n)\(2n*x^n)=lim f(x^n)\(2n*x^n),再使用一次洛必达法则可得此极限=（1\2n)f'(0)