Question

要详细的例题介绍等差和等比数列

Answer 1

一、 等差数列

　　如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。

　　等差数列{an}的通项公式为：
　　　　an=a1+(n-1)d (1)
前n项和公式为：
　　　　(2)

　　从(1)式可以看出，an是n的一次数函(d≠0)或常数函数(d=0)，(n，an)排在一条直线上，由(2)式知，Sn是n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0，a1≠0)，且常数项为0。

　　在等差数列{an}中，等差中项：
　　　　，

　　且任意两项am，an的关系为：
　　　　an=am+(n-m)d

它可以看作等差数列广义的通项公式。

　　从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出：

a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1，k∈{1,2,…,n}

　　若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有
　　　　am+an=ap+aq
　　　　Sm-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+1
　　　　Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Snk-S(n-1)k…或等差数列，等等。

二、 等比数列

　　如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。

　　等比数列{an}的通项公式是：
　　　　an=a1·qn-1

　　前n项和公式是：
　　　　

　　在等比数列中，等比中项：
　　　　，

　　且任意两项am，an的关系为an=am·qn-m

　　如果等比数列的公比q满足0＜∣q∣＜1，这个数列就叫做无穷递缩等比数列，它的各
项的和(又叫所有项的和)的公式为：

　　从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：

　　　　a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…,n}

　　若m，n，p，q∈N*，则有：
　　　　ap·aq=am·an，
　　记πn=a1·a2…an，则有
　　　　π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1

　　另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则{Can}是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。

　　重要的不仅是两类基本数列的定义、性质，公式；而且蕴含于求和过程当中的数学思想方法和数学智慧，也是极其珍贵的，诸如“倒排相加”(等差数列)，“错位相减”(等比数列)。

　　数列中主要有两大类问题，一是求数列的通项公式，二是求数列的前n项和。