Question

平面内的1条直线可以把平面分成2部分， 2条直线最多可以把平面分成4部分，

那n条呢

Answer 1

设平面内n(n为正整数)条直线最多可以把平面分成 an 个部分，
则a1=2，a2=4。

设 n 条直线把平面分成了 an 个部分，则增加一条直线时，这条直线与前面n条直线最多有n个交点，这n个交点把这条直线分成了 n+1 段，每段都把它所在的部分分为两个部分，
也就是说，平面由 an 个部分增加到 an+(n+1)个部分，
即 a(n+1)=an+(n+1).(n=1，2，3，。。。。。）
由上式可得
a1=2
a2=a1+2
a3=a2+3
.....
an=a(n-1)+n
将以上等式两边分别相加，得
an=2+2+3+4+...+n=1+n(n+1)/2=(n^2+n+2)/2

Answer 2

=2+2+3^……+n
=1+1+2+3+……+n
=1+n(n+1)/2

Answer 3

设平面内n(n为正整数)条直线最多可以把平面分成 an 个部分，
则a1=2，a2=4。

设 n 条直线把平面分成了 an 个部分，则增加一条直线时，这条直线与前面n条直线最多有n个交点，这n个交点把这条直线分成了 n+1 段，每段都把它所在的部分分为两个部分，
也就是说，平面由 an 个部分增加到 an+(n+1)个部分，
即 a(n+1)=an+(n+1).(n=1，2，3，。。。。。）
由上式可得
a1=2
a2=a1+2
a3=a2+3
.....
an=a(n-1)+n
将以上等式两边分别相加，得
an=2+2+3+4+...+n=1+n(n+1)/2=(n^2+n+2)/2。

当n=10时，10条直线最多将平面分成 (100+10+2)/2=56个部分。

Answer 4

设平面内n(n为正整数)条直线最多可以把平面分成 an 个部分，
则a1=2，a2=4。

设 n 条直线把平面分成了 an 个部分，则增加一条直线时，这条直线与前面n条直线最多有n个交点，这n个交点把这条直线分成了 n+1 段，每段都把它所在的部分分为两个部分，
也就是说，平面由 an 个部分增加到 an+(n+1)个部分，
即 a(n+1)=an+(n+1).(n=1，2，3，。。。。。）
由上式可得
a1=2
a2=a1+2
a3=a2+3
.....
an=a(n-1)+n
将以上等式两边分别相加，得
an=2+2+3+4+...+n=1+n(n+1)/2=(n^2+n+2)/2。

当n=10时，10条直线最多将平面分成 (100+10+2)/2=56个部分。
谢谢大家

Answer 5

n条直线最多可以把平面分成p=2n+(n-2)(n-1)/2个部分