Question

已知二次函数f(x)=x的平方—-16x+q+3,若函数在区间[-1,1]上存在零点，求实数q的取值范围;

(2) 问:是否存在常数q, 0<q<10 ,使得当x属于[q,10]时, f(x) 的最小值为 -51？若存在，求出 q的值，若不存在，说明理由。

Answer 1

f(x) = x²-16x+q+3 = (x-8)²+(q-61) ，
这是一条开口向上的抛物线，对称轴为 x = 8 ；
（1）
区间 [-1,1] 都在对称轴的左侧，则在区间 [-1,1] 内，f(x) 为单调递减；
若 f(x) 在区间 [-1,1] 上存在零点，则有：f(-1) > 0 ，f(1) < 0 ；
可得不等式组：q+20 > 0 ，q-12 < 0 ，
解得：-20 < q < 12 ；
（2）
分情况讨论：
① 若 0 < q ≤ 8 ，则对称轴 x = 8 在区间 [q,10] 内，
可得：f(x) 的最小值为 f(8) = q-61 = -51 ，
解得：q = 10 ，不满足 0 < q ≤ 8 ；
② 若 8 < q < 10 ，则区间 [q,10] 都在对称轴 x = 8 的右侧，
可得：f(x) 的最小值为 f(q) = q²-15q+3 = -51 ，
解得：q = 9（舍去 q = 6）；
综上可得：
满足条件的常数 q 存在，q 的值为 9 。

Answer 2

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