Question

一道初二数学题，急！30分求一题！

如图1，一次函数y=kx-4k交x轴的正半轴于点A，交y轴的正半轴于点C。
如图3，当k变化时，作直线y=kx-4k关于x轴对称的直线AC’,过点C作直线BC交线段OA于点D，交AC’于B点，且∠OCD=二分之一的∠CAO。以下两个结论 1 AB+AC是定值 2 AC-AB是定值 这两个结论只有一个正确，请选出这个结论并证明。

Answer 1

AB+AC是定值
首先AC的解析式y=kx-4k，所以A(4,0)，C(0,-4k)，AC=4√(1+k*k)，tan∠CAO=-k
AB的解析式y=-kx+4k，所以C'(0,4k)
又有∠OCD=0.5∠CAO，根据二倍角正切公式 2tanα
tan2α＝—————
1－tanα*tanα
解方程得到tan∠OCD=(1-√1+k*k)/k，那么tan∠ODC=1/tan∠OCD=k/(1-√1+k*k)
那么CB的解析式为y=-k/(1-√1+k*k)x-4k，与AC‘的解析式组成方程组解出B的坐标
B[-8(1-√1+k*k)/√1+k*k ，k*(8-4)/√1+k*k]
接下来可以求出AB=8-4√1+k*k，则AB+AC=8，是定值。

追问

您可以用初二的知识回答吗？

追答

呃，我个人觉得这道题已经超出初二的范围了，要想求B的坐标，就必须求CB的解析式，就必然用到二倍角公式，这个是高中的知识...

追问

我们老师要我们做辅助线用全等= =

Answer 2

AC+AB=8
假设K=1，则∠OCA=∠OAC=45°，
过B做BE垂直于Y轴于E，则BA=BE=EC'=8-4√2，AC=4√2

Answer 3

把（1，4）代入y=kx+k得k=2
C(0,-4k)，AC=4√(1+k*k)，tan∠CAO=-k
AB的解析式y=-kx+4k，所以C'(0,4k)
又有∠OCD=0.5∠CAO，根据二倍角正切公式 2tanα
tan2α＝—————
1－tanα*tanα
解方程得到tan∠OCD=(1-√1+k*k)/k，那么tan∠ODC=1/tan∠OCD=k/(1-√1+k*k)
那么CB的解析式为y=-k/(1-√1+k*k)x-4k，与AC‘的解析式组成方程组解出B的坐标
B[-8(1-√1+k*k)/√1+k*k ，k*(8-4)/√1+k*k]
接下来可以求出AB=8-4√1+k*k，则AB+AC=8，是定值。

Answer 4

把（1，4）代入y=kx+k得k=2
当x=0时y=2所以A（0，2）
同理B（-1，0）
所以AB长为√5
PQ长为√(a^2+b^2)
所以√(a^2+b^2)=√5
即a^2+b^2=5（a>0,b>0)
（2）AB斜率为2
所以QP斜率为-1/2
设b=1/2a+d
求出与x轴y轴交点
焦点坐标的平方和为（√5）^2求出d
然后求出交点坐标，可知ab