Question

在正方形ABCD中，N是DC的中点，M是AD上异于D点，且∠NMB=∠MBC，试试tan∠ABM的值.

Answer 1

过点N作直线NO平行于MB，交BC于点O
∵∠NMB=∠MBC, NO‖MB
∴四边形BMNO为等腰梯形
∴BO = MN
∵N是DC的中点
∴BO²=MN²=DM²+DN²=(AB-AM)²+(AB/2)²
∵NO‖MB, AD‖BC
∴∠AMB=∠MBC=∠NOC
∴⊿AMB∽⊿CON
∴OC/CN=AM/AB=(AB-BO)/(AB/2)
∴BO=AB-AM/2
得到方程式
(AB-AM)²+(AB/2)²=(AB-AM/2)²
解方程得：
AB²-2*AB*AM+ AM²+AB²/4=AB²-AB*AM+AM²/4
AB²/4- AB*AM+3/4 * AM²=0
(AB/2-3/2*AM)(AB/2-AM/2)=0
AB=AM或AB=3AM
∵AB=AM时M重合于D，不合题意。
∴AB=3AM
∴tan∠ABM=AM/AB=1/3