Question

函数最值问题

设函数f(x)在I上连续（I为有限或无穷区间），且在I内只有一个极值点x0
证明x0必为f(x)的最值点
谢谢你了:-D

Answer 1

不妨设x0是极值小值点。
那么存在x0某领域O 在O中任意除x0外的点x
都有f(x)>=f(x0).而且必然在这个临域里面存在x1>x0,（就是x1在右半临域）使得这个不等号是严格成立的。即f(x1)>f(x0)
否则，右半领域里面的函数值都相等，都是f(x0)的话，那么每个点都是极值点了，从而矛盾。
现在，对于x>x0,必然有f(x)>=f(x0);
否则设x2>x0,且f(x2)<f(x0).不妨设x1<x2;
与那么由介值性，存在x3在x1和x2之间，使得f(x3)=f(x0);显然x3>x0。
现在你看区间[x0.x3],由于x1在这个区间里面，且f(x1)>f(x0)=f(x3),那么f在闭区间[x0,x3]中的最大值必然不是在边界取得，而是在内部取得，这个闭区间上的最大值就是除x0以外的另一个极值点，从而矛盾。 （如果之前是x1>x2,那么就是x2在这个闭区间里面，那么就是找到最小值）
故对一切x>x0,有f(x)>=f(x0);
类似的对一切x<x0,有f(x)>=f(x0)
从而x0是最小值点。

追问

这道题我明白了
你能不能证一下“如果函数f(x)在区间I上连续，且f(x)非单调函数，那么f（X)有极值点”
谢谢

追答

已证明；

Answer 2

不妨设区间为(a, b)， x0将区间分为(a,x0), (x0,b)左右两个区间，根据题意，这两个区间都为单调区间，因此每个区间的最大最小值都在端点取得。
若x0为极小值点，则
（a,x0) 为单调减，f(x0)为此区间内最小值
(x0,b)为单调增，f(x0)为此区间内最小值
因此f(x0)为整个区间的最小值
若x0为极大值点，则
（a,x0) 为单调增，f(x0)为此区间内最大值
(x0,b)为单调减，f(x0)为此区间内最大值
因此f(x0)为整个区间的最大值
因此结论成立。

追问

那要怎么说明两个区间都是单调的？而且两者单调性相反呢？

追答

因为只有一个极值点呀。

追问

这....就是要证的点啊....不然就没什么意思了
应该要证明的，不然也没有这种定理啊

追答

假如在（a,x0)不单调，那么其内必有极值点了，这与条件矛盾了。

追问

不好意思啊，能不能说详细一点为什么在（a,x0)不单调，其内就必有极值点？

追答

这从定义就可得到了

追问

我是真的不明白啊....你指的哪个定义啊
能不能说详细点麻烦了谢谢了
我追问超过3条了要消耗财富值
我给你发站内信吧谢谢了

追答

好晕。极值点就是使单调性反转的点。在极值点的邻域两边，单调性相反。

追问

不好意思
我才明白为什么你这么纠结，sorry
我们书上极值不是用单调性定义的....
我们是说对于在x0某邻域内的所有x，均有f(x)<f(x0)
你能不能用我们这个定义推出你那个定义啊....谢谢

Answer 3

设函数f(x)在 I 上连续（I 为有限或无穷区间），且在 I 内只有一个极值点x0.
不妨设其为极小值点。假设点 x0 处不取得最小值，则 f(x) 必在一点 x1 处取得最小值，
f(x1) 必是函数的极小值，这与 f(x) 在 I 内只有一个极值点x0 矛盾。
故假设错误，即x0必为f(x)的最值点。

追问

“则 f(x) 必在一点 x1 处取得最小值”这是不对的
I要是无穷区间
就说明不了一定存在最小值

追答

设函数f(x)在 I 上连续（I 为有限或无穷区间），且在 I 内只有一个极值点x0.
下面应该讨论：
若其为极小值点, 即它必为f(x)的最小值点；
若其为极大值点, 即它必为f(x)的最大值点。

追问

然后呢？

追答

反证法，如上。

追问

你并没有解释我的问题啊
你怎么能说明一个函数一定有最小值？那是不一定的啊