Question

求1/(1+x^3)的不定积分

Answer 1

详细的解题过程如下：

拓展内容：

在微积分中，一个函数f 的不定积分，或原函数，或反导数，是一个导数等于f 的函数 F ，即F ′ = f。不定积分和定积分间的关系由微积分基本定理确定。其中F是f的不定积分。这样，许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。

设F(x)是函数f(x)的一个原函数，我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+ C(C为任意常数）叫做函数f(x)的不定积分，记作∫f(x)dx或者∫f（高等微积分中常省去dx），即∫f(x)dx=F(x)+C。

其中∫叫做积分号,f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f(x)dx叫做被积式,C叫做积分常数，求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行积分。

Answer 2

1/（1+x^3）的不定积分求法如下：

1+x^3=(x+1)(x^2-x+1)
用待定系数法：A/(x+1)+(Bx+c)/(x^2-x+1)=1/(x+1)(x^2-x+1)
得A=1/3,B=-1/3,C=2/3

所以∫[1/(1+x^3)]dx =1/3∫(1/(x+1))dx-1/3∫((x-2)/(x^2-x+1))dx
其中1/3∫(1/(x+1))dx=1/3ln|x+1|+c

因为d（x^2-x+1）=(2x-1)dx,所以x-2=1/2(2x-1)-3/2
∫((x-2)/(x^2-x+1))dx=1/2∫(d(x^2-x+1)/(x^2-x+1))-3/2∫(1/(x^2-x+1))dx
其中∫(d(x^2-x+1)/(x^2-x+1))=ln|x^2-x+1|+c
∫(1/(x^2-x+1))dx=∫(dx/((x-1/2)^2+(根号3/2)^2))

因为∫（dx/(x^2+a^2)）=(1/a)arctan(x/a)
所以∫(1/(x^2-x+1))dx=∫(dx/((x-1/2)^2+(根号3/2)^2))
=（2/根号3）arctan（(x-1/2)/(根号3/2)）+c

在乘上系数,整理∫[1/(1+x^3)]dx=1/3ln|x+1|-1/6|x^2-x+1|+(1/根号3)arctan((2x-1)/根号3)+c

拓展内容：
1、不定积分的基本概念：

在微积分中，一个函数f 的不定积分，或原函数，或反导数，是一个导数等于f 的函数 F ，即F ′ = f。不定积分和定积分间的关系由微积分基本定理确定。其中F是f的不定积分。这样，许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。

设F(x)是函数f(x)的一个原函数，我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+ C(C为任意常数）叫做函数f(x)的不定积分，记作∫f(x)dx或者∫f（高等微积分中常省去dx），即∫f(x)dx=F(x)+C。其中∫叫做积分号,f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f(x)dx叫做被积式,C叫做积分常数，求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行积分。

由定义可知：

求函数f(x)的不定积分，就是要求出f(x)的所有的原函数，由原函数的性质可知，只要求出函数f(x)的一个原函数，再加上任意的常数C,就得到函数f(x)的不定积分。

2、不定积分的主要性质：

1、函数的和的不定积分等于各个函数的不定积分的和；

2、求不定积分时，被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来；

Answer 3

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 4

我来解吧，他都答得不清不楚。虽然过程麻烦些，但绝对正确的。

追答

这里分解分式，可以有三个做法：

第一个：待定系数法

第二个：任意代入数字，解方程

第三个：留数法

第三个方法，分母必须分解为一次因式才有效，分解结果出现的虚数i都可以通过合并消去

重新整理计算结果：

Answer 5

如图

追问

这是神马意思、

追答

就是求分解后的系数了