Question

已知过定点P(0,1)的直线l交双曲线x^2-y^2/4=1于A,B两点，问：若直线AB的中点为M,求M点的轨迹方程

答案是4x^2-y^2+y=0(y<-4或y>1)。我就是想问下，y的范围怎么出来的。要详细，还有为什么不能取等号。

Answer 1

过定点P(0,1)的直线l为：y=kx+1

代入双曲线，得 4x²-(kx+1)²=4，整理得 (4-k²)x² -2kx-5=0            (1)

设A、B分别为A(x1,y1), B(x2,y2)，中点为M(x,y)

则有 x1+x2=2k/(4-k²)，x1x2=-5/(4-k²)；y1+y2=k(x1+x2)+2=2k²/(4-k²)+2

∴对M：x=(x1+x2)/2=k/(4-k²)，y=(y1+y2)/2=k²/(4-k²)+1=4/(4-k²)

通过代数式组合，可得4x²-y²+y=0

至于y的范围：因有两个交点，则方程(1)必有两个不同的根

∴△=4k²+4*5*(4-k²)=80-16k²>0 => 5-k²>0 => 4-k²>-1 => y=4/(4-k²)<-4

至于另一个y>1，我也实在不知道是怎么出来的，不过图画出来确实有两个范围

追问

y>1是从4x^2=y^2-Y>0得出来的，你能不能帮我想想为什么不能4x^2>=0呢？

追答

从图上看，似乎y可以等于1呀，x也可以等于0，此时，中点N与P重合，直线为y=1的水平线