Question

如图，正方形ABCD的边长为4，E是CD的中点，点F在BC上且AE平分∠DAF，求FC的长．

Answer 1

作EG⊥AF于G，连EF
易证Rt△AGE≌Rt△ADE(HL)
∴GE=DE=CE
∴Rt△EFG≌Rt△EFC
∴∠GEF=∠CEF
∵∠D=∠AGE=90°
∴∠GAD+∠GED=180°
又∠GEC+∠GED=180°
∴∠GEC=∠GAD
∴∠CEF=∠DAE
∴Rt△CEF∽Rt△DAE
∴FC:ED=EC:AD
∴FC=EC·ED/AD=2×2÷4=1

Answer 2

延长AE交BC延长线于G，易证明角FAG=角EAD=角FGA，三角形AFG为等腰三角形
而且三角形ADE全等于三角形GCE，AE=GE，FE三线合一垂直于AE，
易得三角形ADE相似于三角形ECF，则比例可以得到FC=1

Answer 3

cos∠DAE=4/2√5,sin∠DAE=2/2√5
cos∠BAF=cos(П/2-2∠DAE)=sin2∠DAE=2sin∠DAEcos∠DAE=4/5
cos∠BAF=AB/AF→AF=5
BF=3,CF=1