Question

已知函数f(x)在实数R上有定义，对任意实数a>0和任何实数x，都有f （ax)=af(x).

已知函数f(x)在实数R上有定义，对任意实数a>0和任何实数x，都有f
（ax)=af(x).
(1)证明f(x)=kx(x>=0)&f(x)=hx(x<0），其中k和h均为常数；
（2）当（1）中k>0时，设g（x)=[1/f(x)]+f(x) (x>0),讨论g(x)在（0，∞）内的单调性并求极值。

Answer 1

(1)设f(1)=k -f(-1)=h
f(0)=f(2*0)=2f(0) f(0)=0
当x>0时，f(x)=f(x*1)=xf(1)=kx
当x=0时，f(0)=k*0=0
当x<0时，f(x)=f[(-x)*(-1)]=-xf(-1)=hx
结论成立。
(2)k=f(1)>0 g(x)=1/f(x)+f(x)=1/(kx)+kx g'(x)=k-k/x^2=(kx^2-k)/x^2=0 x=1
当0<x<1时，g'(x)<0，当x>1时，g'(x)>0
所以，g(x)在区间(0,1)递减，在区间(0,+∞)递增。极小值g(1)=1/k+k