Question

求数列1-1/2+1/3-1/4+..........到无穷的数列和

答案为ln2但不知道怎么证明。请只用高数的方法给出详细证明。

Answer 1

ln(1+x)泰勒展开，取x=1，如下图：

ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-……+(-1)^(k-1)*(x^k)/k   （|x|<1) 

即可证明。

Answer 2

利用等比数列求和公式，得
1-x+x^2-x^3+x^4-....+(-x)^n=[1-(-x)^n]/(1+x)，
当 -1<x<=1 时，上式两端极限均存在，取极限得
1/(1+x)=1-x+x^2-x^3+x^4..................
两端积分，即得 ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-x^4/4+。。。。。
取x=1代入，得 ln2=1-1/2+1/3-1/4+........。

Answer 3

考虑函数ln(1+x)的展开式
ln(1+x)= x-x^2/2+x^3/3-...(-1)^(k-1)*x^k/k+...
令x=1就得到
ln2=1-1/2+1/3-1/4+........