Question

极限lim(sinx-x)/x^3=lim(-x^3/6 /x^3)=-1/6 ，其中x->0-这两步是如何推得的？？求原理与解释

极限lim(sinx-x)/x^3=lim(-x^3/6 /x^3)=-1/6 ，其中x->0-这两步是如何推得的？？求原理与解释
x^3表示x的三次方啊

Answer 1

应该是这样算的：lim(sinx-x)/x^3=lim(cosx-1)/3x^2=lim(-x^2/2/3x^2)=-1/6;
其中用到洛必达法则和极限相等：lim(cosx-1)~-x^2/2

追问

多谢你的回答，你的思路打开了我的谜团！感谢，虽然没有楼下的详尽！楼下的原理也蛮好理解的

Answer 2

因为当x-->0时有sinx=x-(1/6)x^3+o(x^3),(泰勒公式)
所以有
lim（x-->0) (sinx-x)/x^3=lim(x-(1/6)x^3+o(x^3)-x)/x^3
=lim（x-->0) ((-1/6)x^3/x^3 + lim(x-->0)o(x^3))/x^3
=lim（x-->0) ((-1/6)x^3/x^3=-1/6
其中lim(x-->0)o(x^3))/x^3=0。

追问

多谢你的回答

Answer 3

本题可以用罗比达法则求解，但是答案不是用该法则解的，而是用泰勒展开

sinx在x=0附近的泰勒展开为
sinx = x - xxx/6 + xxxxx/5! + o(x^6)
带入原式即可

Answer 4

sinx=2sinx2cosx/2=2sinx/2*(1-2sin^x/4)
=2sinx/2*-4sinx/2*sin^x/4
lim(sinx-x)/x^3
=lim(2sinx/2*-4sinx/2*sin^x/4-x)/x^3
=lim(-4sinx/2*sin^x/4)/x^3
=lim(-4*x/2*x^2/16)/x^3
=lim(-x^3/8 /x^3)
=-1/8

追问

思路不对