Question

一道量子力学题

把碱金属的轨道自旋耦合看成微扰，微扰为（1/2μ²c²）（1/r)(∂u/∂r)(LS) 写出能量本征值，精确到一级并讨论起简并性。
L S 分别为轨道自旋角动量算符 打不出来 凑合着看吧

Answer 1

首先，角动量算符的内积可以这么求出来：
J=L+S
两边平方，
J²=(L+S)²=L²+S²+2LS
所以
LS=(1/2)(J²-L²-S²)
如果未微扰的哈密顿量具有球对称，那么它同J²、L²、S²都对易，本征态是哈密顿量和三个角动量平方的共同本征态。能量本征值的一阶修正为
(1/2μ²c²)<(1/r)(∂u/∂r)>[j(j+1)-l(l+1)-s(s+1)]hbar
因为微扰项(1/r)(∂u/∂r)仍然具有球对称，所以相同l的波函数算出来的期待值<(1/r)(∂u/∂r)>是相同的。因此简并度取决于因子[j(j+1)-l(l+1)-s(s+1)]。对每一组(j,l,s)，因为能量与jm无关，所以简并度是2j+1。

碱金属的条件只是提供了球对称的哈密顿量。其实这是一个近似。