Question

一道量子力学题

两个一维全同粒子，处于一维谐振子势中，彼此之间还有位能
V=1/2k[X(1)^2+X(2)^2]+1/2A[X(1)-x(2)]^2
A k 都大于零
求体系的能量本征值和本证函数，按波函数的交换对称性分别讨论

Answer 1

先定义简正坐标
y=X(1)+X(2)
z=X(1)-X(2)
那么势能就可以写为：
V=(1/4)ky^2+(1/2)(k/2+A)z^2
这等价于一个各向异性的两维谐振子问题，其本征能量为
E=(p+1/2)*hbar*sqrt(k/2m)+(q+1/2)*hbar*sqrt[(k/2+A)/m]
p、q为正整数，m为粒子质量。
未对称化的波函数为
psi_p[(X1+X2)/a1]psi_q[(X1-X2)/a2]
a1=hbar^(1/2)(km/2)^(1/4)
a2=hbar^(1/2)[(k/2+A)m]^(1/4)
psi_p 是一维谐振子本征态p的波函数。
对称化的波函数为
psi_p[(X1+X2)/a1]{psi_q[(X1-X2)/a2]+psi_q[(X2-X1)/a2]}
很显然，q是奇数时波函数为0。所以对玻色子，q只能取偶数。
反对称化的波函数为
psi_p[(X1+X2)/a1]{psi_q[(X1-X2)/a2]-psi_q[(X2-X1)/a2]}
q是偶数时波函数为0。所以对费米子，q只能取奇数。