Question

AB均为m*n矩阵,试证明r(A+B)<=r(A)+r(B)且r(A-B)<=r(A)+r(B)

Answer 1

这两个不等式可以看成是同一个不等式。证明方法有多种，可以用子式的方法证明，也可以用向量组的表示的方法进行证明。以下以后一种方法进行证明。
设A的列向量组为A1,A2,...An, B的列向量组为B1,B2,...,Bn.
则A+B的列向量组为A1+B1,A2+B2,...,An+Bn.
显然A+B的列向量组可由A的列向量组和B的列向量组共同表示，
注意到矩阵的秩等于矩阵的列秩等于矩阵的行秩，
所以r(A+B)<=r(A,B)<=r(A)+r(B).

同理可以证明r(A-B)<=r(A)+r(B).

Answer 2

设a的列向量组为a1,a2,...an,
b的列向量组为b1,b2,...,bn.
则a-b的列向量组为a1-b1,a2-b2,...,an-bn.
显然a-b的列向量组可由a的列向量组和b的列向量组共同表示,
注意到矩阵的秩等于矩阵的列秩等于矩阵的行秩,
所以r(a-b)<=r(a,b)<=r(a)+r(b).
同理可以证明r(a+b)<=r(a)+r(b).

Answer 3

矩阵A （A1，A2，…，An )
假设 R（A）=s , 一最大线性无关组为A1，A2 ，…As

B (B1,B2,…，Bn)
R(B)=t 一最大线性无关组为B1,B2,…，Bt

建立向量组 D: A1，A2，…，An ,B1,B2,…，Bn
则 向量组 A+B 能由D 线性表示，所以R(A+B)<=R(D)

再建立向量组Q：A1，A2 ，…As，B1,B2,…，Bn
则向量组 D能由 Q 线性表示，所以
R(D)<=R（Q）<=s＋t

得证