Question

函数f(x)对一切实数x,y均有f(x+y)－f(y)=(x+2y+1)x成立，且f(1)=0,

不等式f(x)＞ax－5当0＜x＜2时恒成立，求a的取值范围 详细过程 谢谢

Answer 1

取x=1，y=0，代入得 f(1)-f(0)=2，所以 f(0)=-2，
再取 x=-y，代入得 f(0)-f(y)=(-y+2y+1)(-y)，
解得 f(y)=(y+1)y-2=y^2+y-2，
所以 函数f(x)=x^2+x-2。
由 f(x)>ax-5 得 x^2+x-2>ax-5，
化为 a<(x+3/x)+1 对 0<x<2 恒成立。
因为 x+3/x>=2√3，当且仅当 x=√3 时取等号，
所以 a<2√3+1。

Answer 2

解：（1）令x=1，y=0，
得f（1+0）-f（0）=（1+2×0+1）•1=2，
∴f（0）=f（1）-2=-2．
（2）令y=0，f（x+0）-f（0）=（x+2×0+1）•x=x2+x，
∴f（x）=x2+x-2．
（3）f（x）＞ax-5化为x2+x-2＞ax-5，
ax＜x2+x+3，∵x∈（0，2），
∴a＜x2+x+3x=1+x+3x．
当x∈（0，2）时，1+x+3x≥1+23，当且仅当x=3x，
即x=3时取等号，由3∈（0，2），
得（1+x+3x）min=1+23，∴a＜1+23．