Question

高一必修二的数学题，空间几何的，详细解答啊（本题没有附图）

正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是上底面ABCD的中心，若正方体的棱长为a，则三棱锥O-AB1D1的体积为

Answer 1

图：

正方体性质可知，AA1⊥底面→AA1⊥B1D1。

又∵B1D1⊥A1C1，A1C1∥AC→AC⊥B1D1

∴D1B1⊥平面A1C1CA

取B1D1中点O1

A、O、C、A1、O1、C1都在平面ACC1A1上，

只要在AA1上取H点，使OH⊥AO1

就可以用3线垂直证明OH垂直AB1D1，

然后就可以求出三棱锥O-AB1D1的高，底面积很好求，V=（底面积*高）/3

方法二：整体-多余

三棱锥O-AB1D1的体积=V正方体-V三棱柱BCD-B1C1D1-V三棱锥B1-AOB-VD1-AOD-VA-A1B1D1

后面3个三棱锥的底、高都相等

所以V=a*a*a*(1/2-1/4)=（a^3)/4

Answer 2

三棱锥O-AB1D1的体积=V正方体-V三棱柱BCD-B1C1D1-V三棱锥B1-AOB-VD1-AOD-VA-A1B1D1

后面3个三棱锥的底、高都相等

所以V=a*a*a*(1/2-1/4)=（a^3)/4