Question

已知定义域为R的函数f(x)=2的x次方-1/a+2的x-1次方是奇函数. (1)求a的值；（2）求证：f(x)在R上是增函数

Answer 1

（1）R上的奇函数，则f(-x)=-f(x)；
则必然满足f(-1)=-f(1)；
即：-2/(4a+1)=-1/(a+1)
2a+2=4a+1
得：a=1/2
（2）由（1）a=1/2，代入f(x)，得：f(x)=2(2^x-1)/(2^x+1)=2(2^x+1-2)/(2^x+1)=2-4/(2^x+1)
令x1<x2，
则f(x1)-f(x2)=2-4/(2^x1+1)-2+4/(2^x2+1)
=4(2^x1+1-2^x2-1)/(2^x1+1)(2^x2+1)
=4(2^x1-2^x2)/(2^x1+1)(2^x2+1)
显然分母(2^x1+1)(2^x2+1)>0；
因为x1<x2，所以2^x1<2^x2，即2^x1-2^x2<0；
所以f(x1)-f(x2)=4(2^x1-2^x2)/(2^x1+1)(2^x2+1)<0；
即x1<x2时，f(x1)<f(x2)；
所以，f(x)在R上是增函数。

希望能帮到你，如果不懂，请Hi我，祝学习进步！

追问

(3)若对任意的t∈R,不等式f(mt^2+1)+f(1-mt)>0恒成立，求实数m的取值范围。

追答

f(mt²+1)+f(1-mt)>0
即f(mt²+1)>-f(1-mt)；
因为f(x)是奇函数，所以有-f(1-mt)=f(mt-1)
所以：f(mt²+1)>f(mt-1)；
又因为f(x)是增函数，所以：mt²+1>mt-1；
即：mt²-mt+2>0对t属于R恒成立；
（1）m=0时，2>0，恒成立，所以m=0可取；
（2）m≠0时，二次函数要大于0恒成立，则：开口向上，与x轴无交点；
即m>0，△=m²-8m<0；得：0<m<8；
综上，实数m的取值范围是：0≦m<8；

实在不好意思，前两天一直忙，今天才又空答。。。

Answer 2

（1）R上的奇函数，则f(-x)=-f(x)；
则必然满足f(-1)=-f(1)；
即：-2/(4a+1)=-1/(a+1)
2a+2=4a+1
得：a=1/2
（2）由（1）a=1/2，代入f(x)，得：f(x)=2(2^x-1)/(2^x+1)=2(2^x+1-2)/(2^x+1)=2-4/(2^x+1)
令x1<x2，
则f(x1)-f(x2)=2-4/(2^x1+1)-2+4/(2^x2+1)
=4(2^x1+1-2^x2-1)/(2^x1+1)(2^x2+1)
=4(2^x1-2^x2)/(2^x1+1)(2^x2+1)
显然分母(2^x1+1)(2^x2+1)>0；
因为x1<x2，所以2^x1<2^x2，即2^x1-2^x2<0；
所以f(x1)-f(x2)=4(2^x1-2^x2)/(2^x1+1)(2^x2+1)<0；
即x1<x2时，f(x1)<f(x2)；
所以，f(x)在R上是增函数

（3）
f(mt²+1)+f(1-mt)>0
即f(mt²+1)>-f(1-mt)；
因为f(x)是奇函数，所以有-f(1-mt)=f(mt-1)
所以：f(mt²+1)>f(mt-1)；
又因为f(x)是增函数，所以：mt²+1>mt-1；
即：mt²-mt+2>0对t属于R恒成立；
（1）m=0时，2>0，恒成立，所以m=0可取；
（2）m≠0时，二次函数要大于0恒成立，则：开口向上，与x轴无交点；
即m>0，△=m²-8m<0；得：0<m<8；
综上，实数m的取值范围是：0≦m<8；