Question

已知函数f(x)=丨x²-4x丨+t,若存在互不相等的实数a，b，c，d，使得f（a）+f（b）+f（c）+f（d）=0

则a+b+c+d=多少

Answer 1

变形f(x)=|(x-2)²-4|+t
当t>0时不满足条件因为f(x)恒>0
当t=0时,a,b,c,d的取值仅限于0和4,不满足互不相等的4个实数
所以t恒<0
根据变形的函数,将y=x²对称轴x=0移动到x=2,然后将顶点向下移动4,然后绝对值将y<0的地方上翻,最后t<0,那么将图像向下移动|t|个单位,此时有4个焦点在y=0上,并且互不相等,那么就有
|(x-2)²-4|=-t 去掉绝对值有 (x-2)²=4±t 开方就有 x=2±√4±t 由此 外面两个正负和里面两个正负刚好组成4个不同的结果.而这四个结果展开,两个一组正负相互抵消,如下
a=2＋√4－t
b=2－√4－t
c=2＋√4＋t
d=2－√4＋t 很显然a+b+c+d=8 而且t的初步范围是 -4<t<0