Question

高中数学问题，要详解

设p:f(x)=e^x+lnx+2x^2+mx+1在(0,+∞)内单调递增，q:m≥-5，则p是q的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

Answer 1

若m≥-5，f'(x)=e^x+1/x+4x+m≥e^x+4+m≥5+m≥0 在(0,+∞)内单调递增
若在(0,+∞)内单调递增，f'(x)=e^x+1/x+4x+m m<=-e^x-1/x-4x
-e^x-1/x-4x无最小值。所以m<=-e^x-1/x-4x不能恒成立。
选B，必要不充分

Answer 2

p：（0，+00）内单调递减转化为f(x)的导函数在（0，+00）上>=0恒成立，进而转化为m>=-(e^x+1/x+4*x）在（0，+00）上恒成立，最后转化为求e^x+1/x+4*x的最小值（因为有-号哟！）这个最小值在高中阶段几乎求不出来，用一下放缩法，1/x+4*x>=2*（根号1/x*4*x)=4(x=2时取=）而e^x>1,从而e^x+1/x+4*x>5,即有m>-5,选A

追问

我们老师讲的时候也说p是m>-5，但他说选B呢，为什么

追答

不是吧，显然p中任一解均在q中，故p能推出q，而q中有一解m=-5不在p中，故q不能推出p，从而p是q的充分不必要条件

Answer 3

选C
f'(x)=e^x+1/x+4x+m
在(0,+∞)，e^x>1, 1/x+4x>=2sqrt((1/x)*4x)=4 (sqrt是开平方根)
e^x+1/x+4x>5
令f'(x)>0 可得 m>=-5