Question

已知⊿ABC中,AB=AC,AD是中线,P是AD上一点,过C作CF‖AB,延长BP交AC于E,交CF于F，求证：BP2=PE

求证：BP2=PE×PF

Answer 1

证明：
∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB
∵AD是中线，⊿ABC是等腰三角形
∴AD是BC的垂直平分线【三线合一】
连接PC，则PB=PC【垂直平分线上的点到线段两端的距离相等】
∴∠PBC=∠PCB
∴∠APB=∠ACP【等量减等量】
∵CF//AB
∴∠CFP=∠APB
∴∠CFP=∠ACP
又∵∠FPC=∠CPE【公共角】
∴⊿FPC∽⊿CPF（AA‘）
∴PF/PC=PC/PE
转化为PC²=PE×PF
∴PB²=PE×PF

Answer 2

解：连接PC，
∵AB=AC，AD是中线，
∴AD是△ABC的对称轴．
∴PC=PB，∠PCE=∠ABP．
∵CF∥AB，∴∠PFC=∠ABP，
∴∠PCE=∠PFC．
又∠CPE=∠EPC，
∴△EPC∽△CPF．
∴PC PE =PF PC ．
∴PC2=PE•PF．
∴PB2=PE•PF．