Question

关于求不定积分

dx、d(x/2)、d(√x)是什么关系啊？
还有，再求∫1/(x²+a²)dx时,
先提出1/a²,变成
(1/a²)∫1/(x²/a²+1)dx 1
然后就变成
1/a∫1/(x²/a²+1)d(x/a) 2
从而结果为
1/a·arctan(x/a) 3
1中明明是dx,为什么到2中变成d(x/a)了？

Answer 1

dx=dx，d(x/2)=(1/2)dx，d√x=[1/(2√x)]dx
∫ dx/(x²+a²)
= ∫ (1/a²)dx/(x²/a²+1)
= (1/a²)∫ dx/(1+x²/a²)
= (1/a²)∫ d(x/a * a)/(1+x²/a²)，d就是微分符号，常数项可以直接提出来
= (1/a²)(a)∫ d(x/a)/[1+(x/a)²]
= (1/a)arctan(x/a) + C

看不明白再问，教到你懂为止。

追问

d(nx)是不是=nd(x),n为常数
还有啊
对于dx和d(x^n)之间怎么转化？我刚学，不太懂，老师也不讲

追答

对啊，你学了导数的，就知道常数可以提出来
即(n*v)' = n*(v)' 或 d(n*v)/dx = n*dv/dx，其实这里的d()只是微分形式
dx和d(x^n)之间的转变用导数公式可以了
d(x^n)转dx就是微分过程，d(x^n) = n*x^(n-1) dx
而dx转d(x^n)就是积分过程，即n*x^(n-1) dx = d[∫ n*x^(n-1) dx] =d(x^n)

追问

d(2x²+4x+6)是不是=(4x+4)dx?
d[e^(2x)+3x²+3x+1]是不是=[2x·e^(2x)+6x+3]dx?

追答

对 d(2x^2+4x+6) = [(2x^2)'+(4x)'+(6)']dx = (4x+4+0)dx = (4x+4)dx
d[e^(2x)+3x^2+3x+1] = {[e^(2x)]'+(3x^2)'+(3x)'+1}dx = [e^(2x)*(2x)'+6x+3+0]dx
= [2e^(2x)+6x+3]dx

再举个例子：∫ x/(1+x^2) dx
下一步就是∫ 1/(1+x^2) d(x^2/2)，分子中的x去哪？就是移进了d里面变为x^2/2，因为∫xdx=x^2/2
然后将常数提出来：(1/2)∫ 1/(1+x^2) d(x^2)
在d里面加上一个1，配合1/u du的形式：(1/2)∫ 1/(1+x^2) d(x^2+1)
注意这个1是常数，d里面加任何的常数也可以，因为微分后常数就是0，但变数不可以，需要从外面通过积分走进d里，所以这个的答案就如(1/2)∫ 1/u du，u=1+x^2
这种方法叫做凑微分法，即隐式代入法，使用代入法时不会故意显示代入法的过程
而显式代入法就是设u = x...的形式，代入法过程要显示给别人看
这两类都是第一类换元积分法

追问

我明白了，是不是d[f(x)]=f'(x)dx?
还有我应该记住哪些常用的转化？
比如dx=d(x+C),dx=d(x²/2)诸如此类的？
我会给你加分的

追答

对，d[f(x)] = f'(x)dx，而f(x)dx = d[∫ f(x)dx]，过程是相反的
不必刻意去记什么常用公式，只要多做题就会了
dx=d(x+C)和xdx=(x^2/2)这些都只是微分和积分过程，你应该会的