Question

求函数（见图片）的定义域,值域,判断奇偶性,求单调区间

Answer 1

你好！

lgx² = 2lg|x|
令 t = lg |x|
f(x) = √(-t² +2t +3)

【定义域】
-t²+2t+3≥0
解得 -1≤ t ≤3
-1≤ lg|x| ≤ 3
0.1 ≤ |x| ≤ 10³ =1000
-1000≤ x ≤ -0.1 或 0.1≤ x ≤ 1000

【值域】
-t²+2t+3 = - (t-1)² +4 ≤4
∴f(x) = √(-t²+2t+3) ∈[0,2]

【奇偶性】
f(-x)=f(x)
∴f(x)是偶函数。

【单调区间】
f(x) = √u 递增

u= -t²+2t+3 = - (t-1)² +2
在 t∈(-1,1)递增，对应x的范围 (-10,-0.1)，(0.1,10)
t∈(1,3)递减，对应x范围 (-1000,-10)，(10,1000)

t = lg |x| 在(-1000,-0.1)递减，(0.1,1000)递增

∴f(x)的增区间 (-1000,-10)，(0.1,10) 【t和u同为增或同为减】
f(x)的减区间 (-10,-0.1)，(10,1000) 【t和u一增一减】

Answer 2

令t=lg|x|则：
f(x)=g(t)=根号（-t^2+2t+3)
-t^2+2t+3>=0
(-t+3)(t+1)>=0
-1<=t<=3
-1<=lg|x|<=3
1/10<=|x|<=1000
定义域为[-1000,-1/10]并[1/10,1000]
g(t)=根号（-（t-1)^2+4)<=2(t=1时等号成立）
值域为[0，2]
f(-x)=根号（-（lg|-x|)^2+lg|-x|^2+3)=根号（-（lg|x|)^2+lgx^2+3)=f(x)
偶函数

由y=根号z与z=-t^2+2t+3及t=lgx及y=|x|复合而成，且y=根号z与t=lgx都是定义域上增函数，y=|x|当x>=0时是增函数，x<0时是减函数，所以其单调性在x>=0时与z=-t^2+2t+3的单调性一致，x<0时与z=-t^2+2t+3的单调性相反，t>=1时递增，0<t<1时递减，-1<t<0时递增，t<-1时递减
所以，原函数单调增区间为[10，1000]并[-1/10,1]
单调减区间为[-1000,-1/10]并[1,1/10]

Answer 3

⑴首先根据对数性质得到
x²>0且|x|>0
所以x≠0
∵-lg²|x|+lgx²+3=-lg²|x|+2lg|x|+3≥0
∴lg²|x|-2lg|x|-3≤0
∴-1≤lg|x|≤3
∴0.1≤|x|≤1000
∴定义域为{x|-1000≤x≤-0.1或0.1≤x≤1000}
⑵设lg|x|=t则
y=√(-t²+2t+3)=√[4-(t-1)²]
∴当t=1时y取得最小值2，当t=-1或3时y取得最小值0
∴f(x)的值域为[0,2]
⑶∵f(-x)=√(-lg²|-x|+lg(-x)²+3)=√(-lg²|x|+lgx²+3)=f(x)且定义域{x|-1000≤x≤-0.1或0.1≤x≤1000}关于原点对称
∴f(x)是偶函数
⑷f(u)=√u(u≥0)单调递增
u=-t²+2t+3=-(t-1)²+4
当t∈[-1,1]时u单调递增,当t∈[1,3]时u单调递增
t=lg|x|
当x∈[-1000,0.1]时t单调递减,当t∈[0.1,1000]时u单调递增
∴当x∈[-10,-0.1]∪[0.1,10]时u(x)单调递减
当x∈[-1000,-10]∪[10,1000]时u(x)单调递增
∵f(u)=√u(u≥0)单调递增
∴f(x)的单调递增区间 [-1000,-10]∪[0.1,10]
f(x)的单调递减区间 [-10,-0.1]∪[10,1000]

Answer 4

首先，x不等于0
lg(x^2)=2lg|x|
设lg|x|=t
f(x)=根号下(-t^2 + 2t + 3)
-t^2 + 2t + 3≥0
-1≤t≤3
1/3 ≤ |x| ≤ 27
即1/3 ≤ x ≤ 27或-27 ≤ x ≤ -1/3
0 ≤ -t^2 + 2t + 3 ≤ 4
0 ≤ f(x) ≤ 2
经计算，f(-x)=f(x)，所以是偶函数
t=1时，x=±3
单调递增区间为[-27，-3][1/3，3]
单调递减区间为[-3，-1/3][3，27]

Answer 5

定义域：x不等于0
值域：大于等于根号2
（ -无穷大，0）或（0， 0.1）上是减函数，在（0.1，+无穷大）上是增函数