Question

设随机变量X的概率密度为f（x）=ae^(-|x|),-∞<x< +∞,求:常数a

∫[-∞, +∞]a*e^(-|x|)dx这步怎么换算=2a∫[0, +∞]e^(-x)dx
这个2是哪里来的

Answer 1

不知道你知不知道积分有个对称性的性质，题目中积分多区域是（-∞， +∞）关于x=0对称，而被积分的函数关于x是奇函数时，即f（-x）=-f（x）时，积分的结果=0；
被积分的函数关于x是偶函数时，即f（-x）=f（x）时，左半区域和右半区域积分的结果是相等的，所以∫[0, +∞]e^(-x)dx=∫[-∞，0]e^(-x)dx,所以∫[-∞, +∞]a*e^(-|x|)dx=2a∫[0, +∞]e^(-x)dx
这是一个性质吧，具体的证明过程我也忘了，，不好意思帮不上你的忙

Answer 2

因为原函数是偶函数f(-x)=f(x). 所以整个图像是关于y轴对称。
很明显整个实轴上[-∞, +∞]-的积分就是正轴上[0, +∞]积分的两倍。

2 就是这么来的。

又概率度总积分=1，2a∫[0, +∞]e^(-x)dx=1 ，=> a=1/2

Answer 3

因为被积分函数　是一个偶函数，积分区间是一个对称区间。
后一个积分区间是前一个的一半. 明白了？