Question

已知定义在实数集上的函数y=f(x)满足条件;对于任意的x,y∈R,f(x+y)=f(x)+f(y)

求证:1 f(x-y)=f(x)-f(y)
2 若X>0时,f(x)>0,则f(x)在R上是单调增函数

Answer 1

1）令x=y=0, 得： f(0)=f(0)+f(0), 所以f(0)=0
令y=-x, 得：f(0)=f(x)+f(-x), 因此f(-x)=-f(x), 此为奇函数
所以有：f(x-y)=f(x)+f(-y)=f(x)-f(y)
2）令x1>x2, 则有：x1-x2>0
则有：f(x1)-f(x2)=f(x1-x2)>0
因此f(x)在R上为单调增函数。