Question

已知定义在实数集上的函数y=f(x)满足条件;对于任意的x,y∈R,f(x+y)=f(x)+f(y)

Answer 1

证明
（1）f（0+0）=f（0）+f（0）=f（0），所以f（0）=0
（2）f（x-x）=f（x）+f(-x)=f(0)=0,所以-f（x）=f(-x),所以是
奇函数
（3）设x1，x2∈R，x1＞x2
所以f（x1-x2）=f（x1）+f（-x2）=f（x1）-f（x2）
因为x1-x2＞0，所以f（x1-x2）<0,所以f（x1）
0时是有两个解
当a=0时是有一个解

Answer 2

证明：
（1）令x=y=0，因为f(x+y)=f(x)+f(y)
所以f(0+0)=f(0)+f(0)=f(0)
解得：
f(0)=0
（2）令y=-x，有：
f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0)=0
所以：f(x)=-f(-x)
举例：
f(x)=x是奇函数且满足f(x+y)=f(x)+f(y)
f(x)=x/2是奇函数且满足f(x+y)=f(x)+f(y)
（3）设x>y
f(x-y)=f(x)+f(-y)=f(x)-f(y)
因为x>y，所以x-y>0
又因为当x>0时，f(x)＜0
所以f(x-y)<0，即f(x)-f(y)<0,即f(x)
0，故：
当a=0时，只有一个解x=0
当a≠0时，解有2个

Answer 3

证明
（1）f（0+0）=f（0）+f（0）=f（0），所以f（0）=0
（2）f（x-x）=f（x）+f(-x)=f(0)=0,所以-f（x）=f(-x),所以是奇函数
（3）设x1，x2∈r，x1＞x2
所以f（x1-x2）=f（x1）+f（-x2）=f（x1）-f（x2）
因为x1-x2＞0，所以f（x1-x2）<0,所以f（x1）<f(x2)
所以f（x）在r上单调递减
我们可以直接找一个函数代替，f（x）=x满足所有的条件
画个图我们知道了
当a<0时是没有解的
当a>0时是有两个解
当a=0时是有一个解