Question

如图,三角形ABC内接于圆O,AB为直径,∠CBA的平分线交AC于点F,交圆O于点D，DE⊥AB于点E且交AC于点P

若圆的半径为5，AF=15/2 求tan∠ABF

Answer 1

如图，若圆的半径为5，AF=15/2，tan∠ABF＝3/4，见③详解。

解：①∵BD平分∠CBA，

∴∠CBD=∠DBA，

∵∠DAC与∠CBD都是弧CD所对的圆周角，

∴∠DAC=∠CBD，

∴∠DAC=∠DBA；

②

∵AB为直径，

∴∠ADB=90°，

∵DE⊥AB于E，

∴∠DEB=90°，

∴∠ADE+∠EDB=∠ABD+∠EDB=90°，

∴∠ADE=∠ABD=∠DAP，

∴PD=PA，

∵∠DFA+∠DAC=∠ADE+∠PDF=90°，且∠ADB=90°，

∴∠PDF=∠PFD，

∴PD=PF，

∴PA=PF，

即：P是AF的中点；

③

由①②可知，在直角三角形AFD和直角三角形ABD中

∠DAF=∠DBA，∠DFA=∠DAB

∴△AFD≌△ABD

∴DF/AD=AF/AB=(15/2)/10=3/4

∴tan∠ABF=tan∠DAF=DF/AD=3/4

Answer 2

：①∵BD平分∠CBA，
∴∠CBD=∠DBA，
∵∠DAC与∠CBD都是弧CD所对的圆周角，
∴∠DAC=∠CBD，
∴∠DAC=∠DBA；
②
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∵DE⊥AB于E，
∴∠DEB=90°，
∴∠ADE+∠EDB=∠ABD+∠EDB=90°，
∴∠ADE=∠ABD=∠DAP，
∴PD=PA，
∵∠DFA+∠DAC=∠ADE+∠PDF=90°，且∠ADB=90°，
∴∠PDF=∠PFD，
∴PD=PF，
∴PA=PF，
即：P是AF的中点；

Answer 3

连AD
∠CAD=∠CBD=∠ABD
∠ADB=90
所以有
三角形ABD相似于三角形AFD
AB/AF=AD/DF=10/7.5 = 4/3
tan∠ABF = tan∠FAD = 3/4