Question

证明不等式：当X大于0时，sinX小于X

Answer 1

0<x<pi/2时，在单位圆中，x是圆心角对的弧，sinx是一条直的线段，由两点之间距离线段最短，可知：sinx<x
x>=pi/2时由于x>=pi/2>1=sinx可得：x>sinx

综合以上，有：x>0时，sinx<x

Answer 2

考虑到x=0时，x=0，sinX=0，则x>0时，有x-sinx=[∫（1-cosx）dx]+(0-sin0)=∫（1+cosx）dx，积分下限为0，积分上限为x。易知（1-cosx）≥0，又积分上限x>0，则∫（1-cosx）dx>0，所以当X大于0时，sinX小于X

Answer 3

令f(x)=sinx-x;
求导得，f '(x)=cosx-1
当x>0时；由于cosx<1,则f '(x)=cosx-1<0；
即f(x)=sinx-x是单调减函数，于是f(x)<f(0)=0
得sinx<x

追问

“当x>0时；由于cosx<1“ X等于2kπ时 不就cosX=1了？