Question

已知圆O1与圆O2相交于A、B两点,点O1在圆O2上,C为O2上一点(不与A,B,O1重合),直线CB与圆O1交于另一点D。

若C是圆O1内一点，求证O1C⊥AD.

Answer 1

根据C所外位置情况可分为两种情况，C在弧O₁A和  弧O₁B

证明：（1）C在弧O₁A上时

廷长O₁C交AD于F点;连接AO₁并廷长交O₁于E点;连接EB，AB

∵AE为直径，所以∠EBA=90°

∴∠O₁EB+∠BAO₁=90°

在O₁中， 劣弧AB所对的圆周角相等

∴∠ADB=∠O₁EB

在O₂中，劣弧O₁B所对的圆周角相等

∴∠BAO₁=∠BCO₁

又∵∠BCO₁=∠DCF

∴∠DCF=∠BAO₁

∴∠ADB+∠DCF=∠O₁EB+∠BAO₁=90°

∴∠CFD=90°

∴CO₁⊥AD              

（2）C在弧O₁B上时，如图

Answer 2

证明：作⊙O1直径AE、连结AB、BE，⊙O1中，∠C=∠O1AB，四边形ADBE内接于圆，∠ADC=∠E，∵AE是直径，∴∠ABE=Rt，即∠O1AB+∠E=Rt，∴∠C+∠ADC=Rt，即CO1⊥AD，证毕。
另：在直线O1C上⊙O1外、除点C外还有无数点，这些点连结B后AD不变，但这些点与O1连线是不会与AD互相垂直的，所以问题补充说“C是⊙O1外一点”但若不限定在⊙O2上的话，则不能证明。

Answer 3

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