Question

圆O1与圆O2相交于A、B两点，点O1在圆O2上，C为圆O2上一点（不与A、B、O1重合），直线CB与圆O1交于另一点D

（1）若AC是圆O2的直径，求证：AC=CD(2)若C是圆O1外一点，求证：O1垂直于AD（1）若C是圆O1内一点，判断（2）中的结论是否成立。

Answer 1

答：

(1).证明：

连结CO1，因为AC是圆O2直径，所以CO1⊥AD。

因为AO1=DO1，CO1⊥AD

所以AC=CD

(2).问题应该是O1C垂直AD吧？漏了个C。

 

如图，连结AB、O1B，连结AO1并延长交圆O1于点P，连结PB，AD与O1C交点为M。

在圆O1中，弧AB所对的圆周角∠ADB=∠APB；

在圆O2中，弧O1B所对的圆周角∠O1CB=∠O1AB。

所以△APB和△CDM相似。

所以∠ABP=∠CMD。

又因为AP是直径，所以∠ABP=90°=∠CMD

所以O1C垂直于AD。

(3).

如图，连结AB、O1B，连结AO1并延长交圆O1于点P，连结PB，延长O1C与AD交点为M。

因为A、O1、C、B四点共圆

所以∠AO1C+∠ABC=180°，而∠AO1C=∠DAP+∠O1MA

在圆O1中，弧DP所对的圆周角∠DAP=∠DBP

所以180°=∠AO1C+∠ABC

=∠DAP+∠O1MA+∠ABC

=∠DBP+∠ABC+∠O1MA

=∠ABP+∠O1MA

因为AP是圆O1的直径，所以∠ABP=90°

所以∠O1MA=180°-∠ABP=180°-90°=90°

所以O1C垂直于AD

Answer 2

解：(1)连接CO1，AB．    
∵AC是圆O2的直径，    
∴AB⊥BD，AD⊥CO1，    
∴AD经过点O1，    
∵AO1 =DO1，   
∴AC=CD．    
(2)连接O1O2，AO1．                                                                                         

   

∵O1O2⊥AB ,     
∴∠A O1O2 + ∠O1AB=90°,
∵O1AB =∠C,    
又∵∠D=∠ O1AB= ∠AO1O2 ,
∴∠C+∠D=90°，
∴O1C⊥AD．
(3)成立．