Question

原函数与导函数奇偶性关系如何证明

Answer 1

这个问题要分情况，原函数如果是奇函数或者偶函数，那么导函数和原函数奇偶性是相反的，但是，如果给出的条件是导函数的奇偶性，求原函数的奇偶性，那么就不一定了，因为从导函数到原函数有一个积分的环节，是可以加上任意常数的，所以导函数是奇函数时，原函数都是偶函数，但是导函数是偶函数时，原函数有且只有一种情况是奇函数，就是满足f0=0的条件下的取值。有错的希望指出，谢谢

Answer 2

引用zhlbsd2006的回答：
用定义证即可：
若f(-x)=f(x)
则f'(-x)=lim_{Δx→0}(f(-x+Δx)-f(-x))/Δx
=lim_{Δx→0}(f(x-Δx)-f(x))/Δx
=lim_{Δx→0}-((f(x-Δx)-f(x))/(-Δx))
=-f'(x)

若f(-x)=-f(x)
则f'(-x)=lim_{Δx→0}(f(-x+Δx)-f(-x))/Δx
=lim_{Δx→0}(-f(x-Δx)+f(x))/Δx
=lim_{Δx→0}(f(x-Δx)-f(x))/(-Δx)
=f'(x)

所以f(x)和f'(x)的奇偶性相反

我想问一下，他们两不管什么时候都是充分必要条件吗？也就是说，若原函数为奇函数，那么导函数必为偶函数，反过来，导函数为偶函数，那么原函数一定为奇函数吗？怎么证明？

Answer 3

可利用其函数关系及其函数图像进行证明

Answer 4

Answer 5

用定义证即可：
若f(-x)=f(x)
则f'(-x)=lim_{Δx→0}(f(-x+Δx)-f(-x))/Δx
=lim_{Δx→0}(f(x-Δx)-f(x))/Δx
=lim_{Δx→0}-((f(x-Δx)-f(x))/(-Δx))
=-f'(x)

若f(-x)=-f(x)
则f'(-x)=lim_{Δx→0}(f(-x+Δx)-f(-x))/Δx
=lim_{Δx→0}(-f(x-Δx)+f(x))/Δx
=lim_{Δx→0}(f(x-Δx)-f(x))/(-Δx)
=f'(x)

所以f(x)和f'(x)的奇偶性相反